与美共舞的几何图形

homlee (homlee)
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发表于:2014-10-29 22:08 [只看楼主] [划词开启]

几何学是数学中的重要分支,不仅在科学中有着广泛的应用,而且对艺术也有重大的影响。历史上,几何图形一直是艺术创作中的重要元素,例如在一千多年前的伊斯兰教艺术中,我们就能发现许多复杂而精致的几何图案。到了近代,伴随几何学的不断发展,我们也能够欣赏到更多蕴含在几何学中的艺术之美。





分形几何:大自然的密码


19世纪末20世纪初,数学家们创造了一系列在数学上很奇怪、却又非常具有美感的几何形状。1891年,德国数学家希尔伯特发现了一条可以铺满整个空间的曲线,这条曲线被命名为希尔伯特曲线(Hilbert curve);1904年,瑞典数学家科赫发现了以他名字命名的科赫曲线(Koch curve),又因曲线形似雪花被称为科赫雪花。


科赫曲线看似复杂,其实画法很有规律:从一个等边三角形出发,将每条边三等分,以每条边中间的一段为边向外作等边三角形,形成一个六角星形。再在六角星形的十二条边的中间一段上作更小的等边三角形,并不断重复这一程序。每一次操作后总长度增加三分之一,而经过无限次操作后就可以得到这个类似雪花的图形。需要注意的是,科赫曲线的总长度是无限的,但是其面积是有限的。


这些图形在被创造之初并没有引起主流数学界的关注,绝大多数数学家认为这些图形“怪异”、“非自然”,与数学研究没什么关系。直到1960年,波兰裔数学家曼德博开始研究这些图形背后的数学意义,才发现了巨大的价值。1975年,他创造了“分形”(fractal)这个词来指代这些自相似性的物体,也就是同样的形状和图样在以不同的规格重复。后人也因此称他为“分形学之父”。在曼德博看来,自然界充满了复杂而不规则的结构——如海岸线、山脉、云、冰川、河流系统、星系团等,甚至蔬菜西兰花,传统几何学对此无能为力,而分形学这种新的自然几何可以大显身手。此外,在人类生活的很多领域内,例如股票市场的涨跌中也可以发现分形几何的影子。



在我们的生活中,一个典型的分形例子是河流系统。我们都知道,河流会改道,例如历史上黄河大的改道就发生过5次。河流改道的原因是河流弯道内侧和外侧水流的速度有差异,这样就会对河流造成侵蚀,进而改变河流的平衡并影响河流未来移动的方向。在研究过程中,科学家发现这一过程可以用分形来描述,因此我们又获得了一个新的视角来观察河流。


几何方程:曲线之美


20世纪计算机的出现彻底改变了数学研究。计算机不仅成为辅助数学研究的有力工具,还能让更多人领略到数学的美。对外行人来说,方程本来只是字母和数字的组合,看起来犹如天书。但是使用计算机,我们可以画出很多方程对应的曲线,一目了然,还会有意外的惊喜,例如1989年数学家发现的两种蝴蝶曲线。




顾名思义,蝴蝶曲线(Butterfly curve)就是曲线形状如同蝴蝶。第一种蝴蝶曲线如图1所示,以方程1描述,是一条六次平面曲线。如果大家觉得这个太过简单,别着急,还有第二种。如图2所示,以方程2描述,这是一个极坐标方程。通过改变这个方程中的变量θ,可以得到不同形状与方向的蝴蝶曲线。如果再施以复杂的组合和变换,我们看到的就完全称得上是一幅艺术品了。


还有一种曲线不得不提,那就是心形曲线(Cardioid curve)。用极坐标表示,这条曲线可以写成方程3的形式。当一个圆沿着另一个半径相同的圆滚动时,圆上一点的轨迹就是心形曲线。


关于心形曲线还有一段动人的传说。法国数学家笛卡儿与瑞典公主克里斯蒂娜邂逅后,两人相爱,却遭到瑞典国王的反对。后来笛卡儿染病,临死前交给公主一封信,信里只有一个方程:r=a(1-cosθ),旁人不解,只有公主明白这是笛卡儿的“一颗心”。这段故事流传甚广,国内某著名品牌矿泉水的广告即取材于此。但实际上,这则故事是后人杜撰而成,唯一真实的地方就是两人确实相识。




从美好的故事中醒来,我们不必伤感,因为我们知道了原来数学还可以用来表达爱意。不管是蝴蝶曲线还是心形曲线,这些数学王国的精灵也可以像那些名画一样,装饰我们的客厅,装点我们的生活。

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